Suite de matrices (3) - Corrigé

Enoncé

On définit la suite de matrices  \((U_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  par :  \(U_0=\begin{pmatrix} 1&1\\0&-1 \end{pmatrix}\)  et, pour tout  \(n \in \mathbb{N}, U_{n+1}=\frac{1}{2}U_n\) .

1. Donner les 3 premiers termes de cette suite.

2. Donner une formule explicite pour  \(U_n\)  en fonction de  \(n\) .

3. Cette suite est-elle convergente ? Si oui, donner sa limite  \(L\) .

Solution

1.  \(U_0=\begin{pmatrix} 1&1\\0&-1 \end{pmatrix}\)  est donnée.
\(U_1=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\0&-\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\)    
\(U_2=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{4}\\0&-\dfrac{1}{4} \end{pmatrix}\)

2. On reconnaît une suite géométrique de raison  \(\dfrac{1}{2}\)  donc  \(U_n=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2^n}&\dfrac{1}{2^n}\\0&-\dfrac{1}{2^n} \end{pmatrix}\) .

3. Chacun des coefficients est convergent vers  \(0\)  donc la suite  \((U_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  converge vers  \(O_2=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}\) .